Listes d'éléments distincts

Définition  

Soit \(E\) un ensemble fini de \(n\) éléments, avec  \(n\) non nul.
Soit \(k\) un entier tel que \(1 ⩽ k ⩽ n\) .
Un arrangement de \(k\) éléments de  \(E\) est une liste de \(k\) éléments de  \(E\) deux à deux distincts.

Exemples

• Classement des meilleurs concurrents lors d'une épreuve, lors d'une course, etc.
  
• Tirage sans remise de \(4\) jetons parmi des jetons numérotés de \(1\) à \(6\) .
  

Remarque

Soit \(E\) un ensemble fini de \(n\) éléments, avec  \(n\) non nul. Un arrangement de \(n\) éléments de  \(E\) est une liste de \(n\) éléments de  \(E\) deux à deux distincts, c'est-à-dire une permutation de  \(E\) .

Propriété

Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(k\) un entier tel que  \(1 ⩽ k ⩽ n\) .
Le nombre d'arrangements dans une liste de \(k\) éléments parmi \(n\) est 
\(n × (n - 1) × ... × (n - k + 1)\) , ce qui peut aussi s'écrire \(\boxed{\dfrac{n!}{(n-k)!}}\) .

Exemple

Le nombre de classements des \(3\) meilleurs élèves à un devoir de mathématiques dans un groupe de \(15\) élèves est : \(15 × 14 × 13 = 2730\) . En effet, il y a  \(15\) possibilités pour l'élève qui a obtenu la meilleure note du groupe, puis \(14\) possibilités pour celui qui a obtenu la deuxième meilleure note, puis \(13\) possibilités pour celui qui a obtenu la troisième meilleure note.